Dr. Gudrun Thäter ist Privatdozentin am KIT in Karlsruhe. Mathematische Modelle zur Ausbreitung einer Pandemie gehören für die Mathematikerin zum Lehrstoff. Trotzdem weist die Coronavirus-Pandemie einige Besonderheiten auf. Eine einfache Exponentialfunktion, die eine Aussage über eine mögliche Verbreitung treffen kann, reicht da nicht mehr. Denn wir wollen natürlich auch möglichst schnell wissen, wie wir Einfluss auf diese exponentielle Verbreitungsgeschwindigkeit nehmen können. Nämlich durch die Maßnahmen, die wir als Gesellschaft kennen.
Für alle, die – wie ich – keine Mathefreaks sind – erklärt Gudrun Thäter einmal grundsätzlich, was mathematische Modelle eigentlich sind, wofür sie eingesetzt werden können und wie gut sie überhaupt geeignet sind, Aussagen über zukünftige Entwicklungen zu treffen. Und sie erklärt auch, welchen Einfluss unser Weltbild darauf hat, was wir aus mathematischen Modellen herauslesen. Eine Sache kann ich sicherlich jetzt schon spoilern: Eine „einfache“ Exponentialfunktion, mit der auf Grundlage der Gesamtbevölkerung einer Region oder eines Landes, Ansteckungsgeschwindigkeit und Letalität von SARS-Cov-2 berechnet werden kann, gibt es nicht. Auch wenn sich die immer wieder in der ein oder anderen Diskussion im Netz finden lässt.
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Zum Thema Corona und exponentielle Ausbreitung habe ich inzwischen etliche Diskussionen geführt. In einigen davon wurde mir vorgerechnet, dass die Zahlen ja alle nicht stimmen können. Die Zahl der Todesfälle nicht und vor allem die Zahl der Infizierten nicht. Zu Grunde gelegt wurde dabei die Gesamtbevölkerung eines Landes und gerechnet wurde mit einer Exponentialfunktion.
Das klingt erst mal alles ganz logisch. Aber: So einfach ist das alles nicht. Denn wenn man die Ausbreitung einer Pandemie bestimmen will, dann kommen wir mit „einfacher“ Exponentialrechnung nicht weiter. Es müssen viel zu viele Zahlen und Gegebenheiten mit einberechnet werden – und viele dieser Zahlen, die uns dafür zur Verfügung stehen, sind notgedrungen nur Schätzungen. Weil es absolute Zahlen nicht gibt. Die hätten wir nur, wenn wirklich jeder Mensch getestet würde und bekannt wäre, wer, wen, wann angesteckt hat, wer danach, wo war und und und.
„Also, wir haben ziemlich viele Zahlen, aber die Zahlen sind immer nur begrenzt aussagekräftig. Und deswegen sind dieses Schnellschüsse oder dieses direkte Rechnen, sind so in der Form nicht möglich.“
Gudrun Thäter
Um das Problem mathematisch zu lösen, arbeiten Forscherinnen und Forscher mit Modellen. Auch Professor Christian Drosten spricht im „Corona Update Podcast“ von NDR Info immer wieder von Modellierungen, die helfen sollen herauszufinden, welche Maßnahmen gerade welche Auswirkungen haben. Aber auch hier fehlen absolute Zahlen. Auch hier wird eben notgedrungen geschätzt.
Von der Mathematikerin Gudrun Thäter wollte ich deshalb wissen: Was sind eigentlich Modelle? Wofür brauche ich die? Übrigens ist auch die Exponentialkurve bereits ein Modell. Aber besser lässt sich das vielleicht mit den folgenden Beispielen veranschaulichen. Denn in der Tat sind mathematische Modelle bereits tief in unserem Alltag verwurzelt. Zum Beispiel, wenn etwas gebaut wird. Dann werden zunächst Modelle angefertigt. Das können physische Modelle sein, aber auch virtuelle Modelle in 3D, die sogar begehbar sind.
Baut eine Architektin oder ein Architekt ein Haus, können das zwei Arten von Modellen sein. Ein Modell, das zeigt, wie sich ein Haus oder Gebäude in die Umgebung einpasst, in die es hineingebaut werden soll. Und zum anderen ein Modell, das die Innenansicht darstellt. Das kann sogar so weit gehen, dass einzelne Räume virtuell simuliert werden können inklusive Lichteinfall im Tagesverlauf. Für all diese Darstellungen sind Daten notwendig. Zahlen. Und trotzdem lässt sich so die Wirklichkeit nur simulieren. Das gebaute Objekt wird nie eins zu eins dasselbe sein, wie das Objekt, das wir uns in der virtuellen Welt angesehen haben. Es ist eben ein Modell. Eine Annäherung an die Realität. Der Vorteil ist: Bei einem solchen Modell stehen extrem viele Daten zur Verfügung.
Mit diesen beiden Modellen, der Außenansicht und der Innenansicht des Gebäudes, werden verschiedene Fragen beantwortet. Die Außenansicht beantwortet die Frage danach, wie sich das Haus in die Umgebung einpasst. Die Innenansicht versucht Fragen auf das Raumgefühl, den Lichteinfall und die Innenaufteilung zu beantworten.
Klamotten kaufen als Modell-Analogie
Eine andere Form von Modell ist uns eigentlich allgegenwärtig. Nämlich beim Klamottenkauf. Denn in aller Regel wird uns die Kleidung, die wir kaufen sollen oder wollen, an Menschen präsentieren. Die stehen als Modell dafür, wie das entsprechende Kleidungsstück getragen aussieht. Jetzt ist es allerdings selten so, dass unsere Körpermaße – und das sind ja messbare Daten – mit denen des Models übereinstimmen, das uns die Kleidung präsentiert.
„Ich weiß ganz genau, wenn das dann kommt und ich zieh das an, sieht das ganz anders aus. Das ist also nur eine erste Näherung, wie das an ihr aussieht, wie das dann auch an mir aussieht.“
Gudrun Thäter
Das heißt, das Foto von dem Model, ist eine Näherung an die Realität. Verändern sich die Daten – also zum Beispiel die Kleidergröße oder die Körperform, verändert sich auch der optische Eindruck. Und weil wir das in aller Regel wissen, machen wir automatisch in unserem Kopf bereits Anpassungen, treffen also bestimmte Vorannahmen, um entscheiden zu können, ob es sinnvoll ist, das Kleidungsstück zu bestellen.
„Da sieht man schon, dass diese Modellsachen nicht eins zu eins übertragbar sind, und dass es einen Unterschied macht, wofür ich das Modell mache. Also welche Frage will ich damit beantworten.“
Gudrun Thäter
Auch für die Verbreitung des Corona-Virus gibt es viele verschiedene Modelle. In gedruckten Zeitungen, aber auch in vielen Medien, in denen die Verbreitung mit einem Standbild veranschaulicht wird, ist die Exponentialkurve das gängige Modell. Was übrigens zur Folge hatte, dass auf Twitter viele Menschen unter #flattenthecurve dazu aufriefen, bitte zu Hause zu bleiben oder wenn möglich ins Homeoffice zu gehen.
Bei anderen Umsetzungen lassen sich sich die Variablen aber online unterschiedlich einstellen. So war zum Beispiel in der Washington Post eine Visualisierung, bei der es verschiedene, herumschwirrende Punkte gab. Die einen waren die nicht infizierten Punkte, die anderen die bereits infizierten Punkte. Je nach dem, wie stark die infizierten Punkte herumschwirren durften, veränderte sich die Infektionsgeschwindigkeit der noch nicht infizierten Punkte.
„Als jemand, der einfach nur diese Animation bedient, kann man ein bisschen damit rumspielen. Also spielerisch, wie wir das eigentlich gut lernen können. Indem wir uns selber Sachen aneignen.“
Gudrun Thäter
Das andere ist ein Verzweigungsdiagramm, bei dem am Anfang eine Person krank ist und die steckt dann ungefähr drei Personen an, was bedeutet das eigentlich im Zeitverlauf? Und welche Effekte lassen sich erzielen, wenn sich in diesem Verzweigungsdiagramm ein Knotenpunkt ausschaltet, zum Beispiel eben durch Quarantäne, und eben nicht weiter dafür sorgt, dass die Ausbreitung fortschreitet.
• Hier gibt’s die Animation mit den schwirrenden Partikeln
Mit beiden Modellen lassen sich ähnliche Fragen beantworten. Nämlich die Frage, wie stark der Anstieg ist, wenn keiner eingreift. Und die zweite Frage, die auch beantwortet wird: Welchen Einfluss haben eben Selbstisolation oder Quarantäne? Und zu welchem Zeitpunkt? Also vor allem bei dem Verzweigungsdiagramm lässt sich gut zeigen: Wenn gleich zu Beginn Knoten rausgenommen werden, welche Auswirkungen hat das in der Zukunft? Und es lässt sich sehr schön sehen, dass eine Person einen großen Einfluss auf die Verbreitung des Virus haben kann, wenn sie frühzeitig aus dem Geschehen rausgenommen wird – oder sich eben selbst rausnimmt.
„Aber: Dieses rationale Wissen muss auch auf einem emotionalen Level ankommen, damit man es richtig verstanden hat. Um einschätzen zu können: Wie wichtig ist das jetzt wirklich?“
Gudrun Thäter
Was aber gerade in Bezug auf die Corona-Pandemie Schwierigkeiten bereitet: Die Schätzungen. Denn schon kleinere Abweichungen können einen großen Unterschied machen. Das ist ein Grund dafür, warum es einige Arbeitsgruppen gibt, die auch schon extrem lange an solchen Pandemie-Modellen arbeiten, sagt Gudrun Thäter, um intelligent um das Fehlen von bestimmten Daten herum trotzdem Aussagen machen zu können. In aller Regel geht es darum, eine gewisse Bandbreite belegen zu können. Etwas, das übrigens die Chemikerin Mai Thi Nuygen Kim in ihrem ersten Video nach der Pause auf Mailab hervorragend veranschaulicht.
„Die können dann sagen: Es wird mindestens so schlimm oder es wird maximal so schlimm. Und dann kann man immer noch überlegen, was man mit diesen Daten macht.“
Gudrun Thäter
Es geht aber bei der Frage, wie wir die Gefahren der Corona-Pandemie einschätzen, nicht nur um wissenschaftliche, mathematische Modelle. Es geht auch um unsere persönlichen, inneren Modelle, die wir von der Welt haben. Denn auch wir denken bisweilen in Schablonen oder Blaupausen. Und wenn das innere Modell heißt: „Corona ist auch nichts anderes als eine Grippe“ und „An der Grippe sterben ja auch Menschen. Und es sterben ja auch immer viele Menschen im Verkehr“, dann haben es auch wissenschaftliche Modelle schwer, dagegen an zu argumentieren.
Das heißt, die mathematischen Modelle treffen bekommen erst Aussagekraft im Bezug auf das Leben an sich und unsere eigene Weltsicht. Wenn unsere Weltsicht heißt, dass das einzelne Leben nicht schützenswert ist und zum Beispiel ökonomische Gründe Vorrang haben, dann werden wir die Toten durch das Coronavirus als Kollateralschaden in Kauf nehmen. Und, ja, da darf gerne einen Moment drüber nachgedacht werden, was das im Einzelfall heißt.
Was übrigens ein bisschen fies ist an der Annahme, das Corona-Virus sei ja „nur“ wie eine Grippe, sagt Gudrun Thäter, ist die Tatsache, dass auch eine Grippe keinesfalls harmlos ist. Und fast jede:r kennt wahrscheinliche eine Person, die an einer Grippe gestorben ist. Und Gudrun Thäter würde sich wünschen, dass wir nach der Corona-Pandemie auch die Grippe als Erkrankung ernster nehmen.
Das Modell der Herdenimmunität
Auch das Modell der Herdenimmunität wurde und wird immer wieder diskutiert. Und grundsätzlich ist das auch ein Gedanke, mit dem man sich beschäftigen sollte, sagt Gudrun Thäter, bevor man das komplette Wirtschaftssystem lahm legt. Aber: Wir haben auch jetzt schon viele Krankheiten, bei denen wir sehr schnell handeln, und die wir eben nicht einfach durchlaufen lassen, bis sich eine Herdenimmunität eingestellt hat. Das ist nämlich der Grund, warum wir uns zum Beispiel gegen Masern, Windpocken oder Polio impfen lassen. Auch eine Ebola-Infektion würden wir nicht so gerne einfach durchlaufen lassen, damit Herdenimmunität hergestellt wird, weil da die Sterblichkeitsrate ziemlich hoch ist. Das heißt, es muss auch überlegt werden, was das konkret heißt, wenn wir eine Krankheit einfach durchlaufen lassen.
Das Problematische sind nämlich tatsächlich die Infektionsrate und die Ausbreitungsgeschwindigkeit, die eben nicht nur in einem kurzen Zeitraum dazu führen würden, dass viele Menschen sterben. Die Erkrankten und deren Versorgung könnte schlicht nicht gewährleistet werden. Mal ganz davon abgesehen, dass das Gesundheitssystem zusammenbrechen würde, wenn sich ausgerechnet die massenweise anstecken, die darin arbeiten. Also Ärzt:innen und Pflegefachkräfte. Allein deshalb wäre das Risiko schon zu hoch, diese Infektion einfach durchlaufen zu lassen.
„Ein ganz guter Schalter, der umgelegt worden ist, war dafür zu werben, dass wir alle diese Kurve plattmachen. Dass es gar nicht so sehr um unseren eigenen Schutz geht, sondern vor allem um den Schutz der anderen.“
Gudrun Thäter
Für eine Mathematikerin ist das Geschehen rund um die Ausbreitung der Pandemie natürlich spannend zu verfolgen, aber eher so auf die Art „bittersüß“, sagt Gudrun Thäter, einfach, weil das natürlich ganz reale, wirklich schlimme Folgen hat. Man sieht gerade sehr gut, dass solche Sachen wie abstrakte Mathematik und die mit ihrer Hilfe berechneten Entwicklungen und Zukunftsperspektiven ganz real dazu führen, dass Menschen ihre Existenz verlieren, wie viele Intensivbetten in Krankenhäusern bereit gestellt werden müssen – und dass mathematische Berechnungen gerade extrem relevant sind bis in den kleinsten Winkel unserer Gesellschaft.
Bei den Pandemie-Modellen, die Gudrun Thäter ein Mal im Jahr mit ihren Studierenden durchgeht, zeigt sich bislang vor allem in der Theorie, welche Faktoren beeinflusst werden können und welche eben nicht. Nicht beeinflusst werden können zum Beispiel Faktoren, wie die Dauer einer Krankheit oder die Inkubationszeit. Gesellschaftlich beeinflussen lassen sich aber die Faktoren, die zu einer Reduktion der Ausbreitungsgeschwindigkeit führen und die heißen Identifikation der Infizierten, Isolation und Quarantäne.
„Jetzt ist es interessant zu sehen, welche Faktoren eigentlich noch ein gehen und wie dramatisch das tatsächlich mit der Datenlage ist.“
Gudrun Thäter
Im Prinzip können die mathematischen Modelle nur in der Rückschau wirklich verlässliche Daten liefern. Zum Beispiel anhand der Zahl der Toten, die vorliegen und die positiv auf Sars-CoV-2 getestet wurden. Wenn man aufgrund dieser Basis eine Zahl hätte über die Sterberate – also wie viele Menschen, die das Virus haben, sterben auch daran, dann könnte man Rückschlüsse darauf ziehen, wie viele Menschen infiziert waren zu dem Zeitpunkt als sich die Toten infiziert haben. Im Falle von Corona wäre das ein Blick drei Wochen zurück in die Vergangenheit. Von dieser Zahl aus könnte dann wieder zurückgerechnet werden in die Gegenwart. Zum Beispiel um die Zahl der aktuell Infizierten hochzurechnen.
Aber auch hier: Wir haben ja in den vergangenen drei Wochen bereits einiges unternommen. Isolation im Krankenhaus, Heimquarantäne, umfassende Kontaktsperren – deren Einfluss müsste natürlich einberechnet werden, um die Zahl der real Infizierten mit der Zahl der potentiell Infizierten vergleichen zu können.
„Und dann haben wir ein tolles Ding, uns auf die Toten zu beziehen, aber die Prozentsätze sind auch nicht alle dieselben, aber es gibt welche, da könnte man wieder eine untere und obere Schranke ausrechnen, aber dann wissen wir wieder nicht, was wir aus der Zahl machen sollen, die dann doch schon wieder drei Wochen alt ist …“
Gudrun Thäter
Das heißt: Wir können in die Zukunft rechnen und Aussagen über Wahrscheinlichkeiten treffen. Aber wie gut diese Berechnungen und Aussagen zutreffen, dass wissen wir im Prinzip erst, wenn diese Zukunft eingetroffen ist und wir sie mit der Realität abgleichen können. Und deshalb kann es auch durch wissenschaftliche Forschung und Berechnung keine hundertprozentige Sicherheit geben. Das ist auch der Grund, warum Wissenschaftler:innen ihre Ergebnisse immer in einen bestimmten Kontext stellen. Nämlich in dem sie sagen, von welchen Grundannahmen sie bei ihren Berechnungen ausgegangen sind (auch das ist sehr gut im Mailab-Video erklärt).
Den Vorteil, den wir ebenfalls haben: In bestimmten Ländern wurden frühzeitig bestimmte Maßnahmen getroffen. Wie zum Beispiel in China, wo eine ganze Region über Wochen abgeriegelt worden ist. Natürlich müssen wir die von dort veröffentlichten Zahlen auch kritisch hinterfragen, aber es hat sich gezeigt, wie die Ausbreitung durch die komplette Abriegelung der Region gestoppt werden konnte. So die Zahlen stimmen gab es danach nur noch Neuinfektionen durch Einreisende. Außerdem ist ein großer Überwachungsapparat in Gang gesetzt worden. Maßnahmen, die in einer Diktatur schnell umgesetzt werden können in einer Art und Weise, die wir hier eher nicht befürworten. Aber selbst, bis das Virus in Wuhan durchgelaufen war, hat es Monate gedauert.
Ein weitere interessanter Fall ist Island. Dort wurde sehr schnell festgestellt, welche Personen Sars-CoV-2 aus dem Skiurlaub mitgebracht hatten – und diese Personen wurden dann vom Rest der Bevölkerung isoliert. Weil Island nicht so dicht bevölkert ist, lassen sich die Infizierten einfach sehr schnell identifizieren. Außerdem mussten Risikopatient:innen zu Hause bleiben. Aus den dort gewonnen Daten lassen sich – auch wieder unter Anpassung der Voraussetzungen im jeweiligen Land – neue Prognosen erstellen oder Prognosen anpassen.
Beobachten von Lernkurven und Informationsfluss
Was auch spannend zu beobachten ist, sind die Lernkurven: Wie schnell verbreitet sich das neue Wissen zum Beispiel in der Wirtschaft, in der Bevölkerung, bei bestimmten Behörden? Wie schnell werden Maßnahmen eingeleitet und umgesetzt. Schön zu sehen übrigens auch an der Entwicklung der Hörer:innenzahlen zum „Corona Update Podcast“ mit Prof. Christian Drosten. Oder auch jetzt an der Bewegung „Masken auf“. Seit einigen Tagen können wir auch hier in Deutschland zunehmend Maskenträger:innen in der Öffentlichkeit beobachten.
„Und dann hat man auch ein bisschen, dass man sieht: Wie hat man es denn in den unterschiedlichen Medien? Wie lernen die dazu? Oder wie schaffen die das, das so zu vermitteln, dass das nachvollziehbar ist. Oder inwieweit trauen die sich immer noch, das so zu verkaufen, dass sie ihre Auflage nur steigern wollen.“
Gudrun Thäter
Was Gudrun Thäter als Wissenschaftlerin übrigens ein bisschen freut: Wie viel Anklang der Podcast mit dem Virologen in der Öffentlichkeit findet. Auch, was die Länge angeht. Denn augenscheinlich gibt es doch einen großen Bedarf, wissenschaftliche Erkenntnisse so vermittelt zu bekommen, dass sie für einen größeren Teil der Bevölkerung zugänglich sind.
„Was auch so’n Moment war, wo sich alle bei uns virtuell High Five gegeben haben, als sogar die Bundeskanzlerin dazu geraten hat, doch einen Podcast für die Großeltern aufzunehmen.“
Gudrun Thäter
Und an dieser Stelle sei auch noch mal wärmstens der Podcast empfohlen, den Gudrun Thäter zusammen mit Sebastian Ritterbusch macht: Den Modellansatz-Podcast, den ihr auch auf den Seiten des Karlsruher Institut für Technologie findet.
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